Menjelang akhir dari bulan ramadan, kami semua diberi tugas oleh guru sejarah kami untuk menulis suatu rangkuman dari pelajaran yang telah kita pelajari di SMA Labschool Kebayoran. Dengan mengambil tema “dari Labsky untuk Indonesia” kami disuruh membuat rangkuman dari berbagai macam pelajaran seperti Matemamtika,Fisika,Kimia,Biologi,Bahasa Indonesia,Kesenian dan Sosiologi mulai dari semester satu sampai dengan semester lima. Kemudian rangkuman itu kami posting di blog kelas dan kemudian diberi label nama dan mata pelajaran yang kami rangkum agar orang orang yang mencari rangkuman mata pelajaran tersebut di mesin pencari seperti Google atau Yahoo bisa menemukan nya di blog kelas kami. Kemudian pada saat pengundian mata pelajaran, saya mendapatkan pelajaran matematika semester lima. Saya lumayan bersyukur karena mendapatkan matematika semester lima karena artinya yang akam saya rangkum adalah pelajaran matematika pada saat kelas tiga semester satu yang mana sedang saya pelajari jadi tidak terlalu susah untuk merangkum nya sedangkan ada dari teman saya yang mendapatkan pelajaran seperti kesenian atau bahasa indonesia. Kedua pelajaran ini tidak terlalu jelas apa yang dipelajari per semester nya. Ada pula yang mendapatkan sosiologi, padahal kami adalah siswa dari kelas IPA.
MATEMATIKA SEMESTER LIMA
Karena jadwal belajar kami pada kelas tiga sangat singkat, jadi banyak guru guru terutama guru guru dari mata pelajaran eksak IPA,yaitu Matematika, Kimia, Fisika, dan Biologi yang mengebut untuk menghabiskan sebagian besar materi kelas tiga pada semester lima ini. Jadi semster lima merupakan semester dengan jadwal yang sangat padat dan melelahkan. Bahkan ada beberapa pelajaran seperti PKN, kemudian bahasa jepang yang menargetkan selesai semua materi kelas tiga pada semester lima ini, sehingga beban dan tekanan yang kami terima cukup berat. Untuk pelajaran matematika sendiri, semester lima yang akan kami pelajari adalah Integral, Program Linear, Notasi Sigma, Barisan dan Deret, kemudian Matriks dan Vektor. Total ada lima bab yang akan kami pelajari di semester lima ini dan semseter lima akan selesai pada bulan Desember 2011. Dari lima bab yang disebutkan diatas saya baru selesai mempelajari satu bab,yaitu bab Integral dan baru akan memulai belajar bab selanjutnya yaitu bab Program Linear. Berikut ini adalah rangkuman dari bab bab tersebut.
INTEGRAL
Ada dua konsep utama di dalam kalkulus yaitu turunan ( derivative) dari suatu fungsi dan integral dari suatu fungsi. Turunan dari suatu fungsi telah saya pelajari dikelas 11, dan kali ini saya akan membicarakan tentang integral dari suatu fungsi. Integral dari suatu fungsi dapat didefinisikan dengan dua cara, yaitu :
1. Integral sebagai invers (operasi kebalikan) dari turunan
2. Intergral sebagai limit dari jumlah (luas daerah tertentu).
INTEGRAL TAK TENTU
Integral sebagai invers dari turunan umumnya disebut sebagai integral tak tentu dari sebuah fungsi dinotasikan dengan : yang diperkenalkan oleh Leibniz untuk menyatakan integral. Dimana f(x) disebut juga sebagai integran. Definisi dari integral tak tentu adalah “Himpunan semua fungsi yang turunan nya sama dengan f(x) adalah integral dari f(x) dan dinotasikan sebagai
Jika F’(X) = f(x) maka = F(X) +C.
Berikut ini adalah rumus umum dari integral tak tentu : ∫ ax n= a/(n+1) x n+1 +C
Contoh soal : Tentukan integral dari f(x) = 3x2
Jawab = 3/2+1 X2+1 + C
= 3/3 X3 + C
= X3 + C
Penentuan integral tak tentu untuk fungsi trigonometri dapat ditentukan berdasarkan pengertian yang telah dibahas di bagian atas yaitu bahwa integral adalah kebalikan dari turunan dan secara umum dapat dinotasikan dengan :
Jika F’(X) = f(x) maka ∫f(x)dx = F(X) +C.
Berikut ini adalah rumus rumus dasar dari integral tak tentu fungsi geometri :
∫a cos bx dx =a/b sin (x+C)
∫a sinbx dx =-a/b cos(x+C)
∫a sec2 bx dx =a/b tan〖x+C〗
∫a csc2bx dx = -a/b cot(x+C)
∫a tan bx sec bx dx =a/b sec(x+C)
∫a cot bx csc bx dx = - a/b csc〖 x+C
Contoh soal : Tentukan integral dari sin 2x dx!
Jawab = - 1/2 cos 2x
INTEGRAL TERTENTU
Integral tertentu dinotasikan dengan simbol . Definisi dari integral tertentu adalah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x); garis x = a, x= b, dan sumbu x. Hal lain yang perlu diperhatikan adalah bahwa pada integral fungsi f(x) disebut integran, a disebut batas bawah dan b disebut batas atas. Cara menyelasaikan persoalan integral tertentu adalah dengan menggunakan teorama dasar kalkulus yaitu, Jika y = f(x) fungsi yang kontinu pada selang dan F(x) adalah sembarang anti turunan dari f(x) pada interval tersebut, maka : .
Contoh soal :
Jawab = F(b) – F(a)
= (x2 +x) (1) -(x2 +x)(0)
= (12-1) – 0
= 0
TEKNIK PENGINTEGRALAN
Pengerjaan suatu persoalan integral tidak selamanya dapat dikerjakan secara langsung dengan menggunakan rumus dasar. Seperti yang dibahas di atas. Bisa langsung bisa tidak tergantung kepada bentuk fungsi yang diintergralkan. Ada 4 teknik pengintegralan yang akan saya bahas.
Teknik Substitusi
Jika bentuk fungsi f(x) yang akan diintegralkan dapat diubah menjadi bentuk k[g(x)]n g’(x), maka pengintegralan fungsi f(x) dapat diselesaikan dengan teknik substitusi, Teknik ini dipakai apabila salah satu dari fungsi di difirensialkan menjadi fungsi yang satunya dan biasa nya dipakai pada waktu perkalian.
Teknik Pengubahan Integran dalam Integral Trigonometri
Fungsi trigonometri sebagai integran tidak selalu cocok untuk langusng diintegralkan dengan menggunakan rumus rumus dasar yang telah dibahas di awal. Seringkali kita harus mengubahnya agar bentuk nya menjadi sesuai dengan rumus rumus dasar yang ada. Pengubahan fungsi trigonometri tersebut dapat dilakukan dengan rumus rumus trigonometri berikut ini :
· sin2A + cos2A = 1
· sin A . cos A = ½ sin 2A
· sin2A = ½ - ½ cos 2A
· cos2A = ½ + ½ cos 2A
· tan2A + 1 = sec2A
· DLL
Integran Yang Memuat Bentuk n
Untuk integran yang memuat bentuk ,maka dalam penyelesaian integrannya kita dapat memisalkan yn = ax + b dan selanjutnya menyatakan integran dalam f(y)
Integral Parsial
Integral parsial digunakan apabila penggunaan teknik pengintegralan diatas tidak berhasil. Dinotasikan dengan :
PENGGUNAAN INTEGRAL TERTENTU
Menentukan Volume
Sumbu x sebagai sumbu putar : V = π∫a^b〖[f(x) 〗2 – g(x)2] . dx
Sumbu y sebagai sumbu putar : V = π∫a^b〖[ f(y)〗2- g(y)2] . dx
PRGORAM LINEAR
Didalam kalkulus banyak dibicarakan tentang masalah maksimum dan minimum. Persoalan-persoalan yang dinyatakan menjadi suatu fungsi dapat ditentukan nilai maksimum atau minimumnya dengan bantuan turunan dari fungsinya. Penentuan nilai maksimum dan minimum tersebut merupakan persoalan optimisasi klasik yang telah banyak diterapkan di berbagi bidang kehidupan. Misalnya di bidang pemerintahan, muncul persoalan bagaimana menentukan barang-barang yang akan diekspormagar diperoleh jumlah penerimaan devisa maksimum. Di bidang usaha, para manager perlu memperhitungkan bagaimana mengelola bahan bahan mentah yan g tersedia, mesin dan gudang yang terbatas agar diperoleh jumlah produksi yang maksimum. Persoalan optimisasi di dalam program linear, merupakan persoalan bagaimana menentukan nilai nilai masing-masing peubah agar fungsi linear dari peubah tersebut menjadi maksimum atau minimum dengan mempertimbangkan kan sejumlah batasan atau kendala yang ada. Didalam program linear akan dijumpai fungsi yang akan ditentukan nilai maksimum atau minimumnya. Fungsi ini merupakan fungsi linear dari sejumlah peubah. Fungsi ini disebut fungsi tujuan atau fungsi obyektif. Dan juga terdapat apa yang disebut batasan atau kendala. Batasan ini merupakan sistem pertidaksamaan linear dari sejumlah peubah. Batasan ini mempunyai himpunan penyelesaian yang disebutt polytope yang dalam dimensi dua disebut poligon atau segi banyak.
Pertidaksamaan dengan bentuk :
ax+by ≥c ;ax+by >c atau ax+by≤c ;ax+by<c
Disebut pertidaksamaan linear. Pasangan x dan y atau titik (x,y) yang memenuhi pertidaksamaan linear tersebut disebut penyelesaian. Penyelesaian dari suatu pertidaksamaan linear terdiri dari tak hingga titik (x,y). Himpunan titik (x,y) yang merupakan penyelesaian pertidaksamaan linear dapat digambarkan pada sistem koordinat Cartesius.
Menggambar nya bisa mengunakan pedoman berikut :
1.Tentukan persamaan garis yang diperoleh dari pertidaksamaan dengan mengganti tanda pertidaksamaan nya dengan tanda sama dengan. Kemudian gambar garis tersebut di sistem koordiant Cartesius. Garis tersebut akan membatasi dua daerah, yaitu kanan dengan kiri dan atas dengan bawah.
2.Tentukan satu titik sebagai catatan, misalnya titik (0,0). Substitusi titik tersebut ke pertidaksamaan.Jika titik (0,0) memenuhi pertidaksamaan maka daerah yang mengandung titik (0,0) merupakan daerah penyelesaian. Arsirlah daerah yang mengandung titik (0,0) sebagai himpunan penyelesaian. Jika titik (0,0) TIDAK memenuhi pertidaksamaan maka daerah yang TIDAK mengandung titik (0,0) merupakan daerah penyelesaian. Arsirlah daerah yang TIDAK mengandung titik (0,0) sebagai himpunan penyelesaian.
PROGRAM LINEAR
Program linear merupakan suatu metode atau prosedur penentuan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Di dalam program linear terdapat sebuah fungsi linear. Fungsi ini disebut fungsi tujuan atau fungsi obyektif. Dan juga terdapat apa yang disebut batasan atau kendala. Masalah dalam program linear adalah mencari nilai peubah-peubahyang merupakan anggota himpunan penyelesaian batasan dan nilai peubah-peubah tersebut membuat fungsi obyektif menjadi optimum (maksimum atau minimum). Di dalam pembahasan ini banyaknya peubah masih terbatas pada dua peubah saja, maka persoalan program linear dapat ditulis secara umum seperti berikut :
· Persoalan Maksimum : Maksimum f(x,y) = ax + by
Syarat : C11X + C12Y d1
: C21X + C22Y ≤ d2
X≥0
Y ≥0
· Persoalan Minumum : Minimum f(x,y) = ax + by
Syarat : C11X + C12Y d1
: C21X + C22Y d2
X≥0
Y ≥0
BARISAN DAN DERET
NOTASI SIGMA
Di dalam perhitungan matematika, sekumpulan data atau bilangan yang sedang diamati kadang kala harus dijumlahkan untuk berbagi keperluan. Untuk memudahkan penulisa maka penjumlahan sekumpulan bilangan atau data tersebut dinyatakan dengan suatu notasi yang disebut sebagai notasi sigma dan dilambangkan dengan simbol Notasi ∑ dibaca dengan sigma yang merupakan huruf Yunani. Notasi sigma ( Σ ) pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1755. Notasi sigma yang disertai dengan indeks dan sebuah fungsi yaitu : menyatakan penjumlahan semua bilangan yang dihasilkan fungsi dari indeks i=1 sampai indeks i=n. Makna dari 2 adalah 42+72+102+132+162+192 yang didapat dari mensubtitusikan nilai i = 1 sampai i = 6.
BARISAN
Barisan adalah himpunan yang anggota anggotanya merupakan peta dari bilangan asli, maka secara umum barisan dapat dinotasikan dengan: . Dalam hal ini menyatakan suku ke-n dari barisan. Karenanya barisan dapat didefinisikan sebagai fungsi dari bilangan asli atau fungsi yang domainnya adalah himpunan dari bilangan asli.
DERET
Penjumlahan suku suku dar suatu barisan disebut deret. Sebagai suatu penjumlahan yang berulang maka deret dapat dinotasikan dengan notasi sigma. Jika suatu barisan dinyatakn dengan U1, U2,U3,U4,U5, ..... Un = {Un} maka deret yang diperoleh dari barisan tersebut adalah = ∑(i=1)^n Ui
MATRIKS
Matriks adalah susunan suatu kumpulan bilangan dalam bentuk persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom atau membentuk pola persegi panjang, dan ditempatkan dalam kurung biasa atau kurung siku. Bilangan bilangan pembentuk matriks disebut elemen elemen matriks
Baris suatu matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar dalam matriks. Sedangkan kolom suatu matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak dalam matriks.
Jenis-jenis matriks berdasarkan ordo dan elemen-elemen matriks :
1. Matriks baris, yaitu matriks yang terdiri dari satu baris.
2. Matriks kolom, yaitu matriks yang terdiri dari satu kolom.
3. Matriks persegi, yaitu matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya.
4. Matriks nol, yaitu matriks yang semua elemennya nol.
5. Matriks identitas, yaitu matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama dengan 1, sedangkan elemen-elemen lainnya sama dengan 0.
6. Matriks skalar, yaitu matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama, sedangkan elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol.
7. Matriks diagonal, yaitu matriks persegi yang elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol.
8. Matriks segitiga atas, yaitu matriks persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol.
9. .Matriks segitiga bawah, yaitu matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.
VEKTOR
Vektor di R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y.
Vektor di R3
Vektor di R3 adalah Vektor yang terletak di ruang dimensi tiga atau Vektor yang mempunyai tiga komponen yaitu x, y dan z.
No comments:
Post a Comment