Tugas-2: Dari Labsky untuk Indonesia, Matematika Semester 6

Materi pelajaran matematika kelas 12 semester 2 terdiri dari 2 bab, yaitu:

1. Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen

2. Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma 

FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN

1)      FUNGSI EKSPONEN

Fungsi eksponen merupakan salah satu fungsi transenden, yaitu fungsi dimana operasi aljabar tidak dapat diterapkan secara langsung.

·     Sifat-sifat Eksponen

1.       aⁿ = a . a . a . a . . . . . . . . . . . . . . . . . (sebanyak n faktor)

2.       a⁰ = 1 untuk a  0

3.       a ^{- p} = 1/a^p untuk a  0

4.       a^p . a^q = a^{p + q}

5.       a^p : a^q = a^{p - q}

6.       (a^p)^q = a^pq

7.       (a.b)^p = a^p . b^p

8.       a^1/n  = ⁿÖa

9.       ^mÖa ⁿ  = a^n/m

·     Fungsi eksponen

1.      Fungsi f(x) = a^U(x) dengan a > 0 dan a  1 disebut fungsi eksponen dengan bilangan pokok a.
Contoh: f(x) = 5^x adalah fungsi eksponen dengan bilangan pokok 5.

2.      Fungsi eksponen akan memetakan bilangan real ke bilangan real. Jika f(x) = a^U(x) dengan a > 0 dan a  1 maka x anggota bilangan real akan dipetakan ke a^U(x) yang juga merupakan anggota bilangan real.
Contoh:
Misal diketahui fungsi eksponen f(x) =
x = 5 akan dipetakan ke f(5) = 2⁵ = 32

·     Sketsa grafik fungsi eksponen

Gambarlah sketsa grafik dari:

a.       y = 2^x

Jawab:

Sejumlah titik yang dilalui kurva y = 2^x disajikan pada tabel berikut:

X	-3	-2	-1	0	1	2	3
Y	1/8	¼	1/2	1	2	4	8
(x.y)	(-3,)	(-2,)	(-1,)	(0,1)	(1,2)	(2,4)	(3,8)

2)      PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN

·             Persamaan eksponen

Persamaan eksponen adalah persamaan yang peubahnya berlaku sebagai eksponen atau pangkat dari suatu bilangan tertentu dalam persamanya.

1.       Bentuk: a^f(x) = 1

Jika a  0 maka a⁰ = 1

Jika a^f(x) = 1 dan a  0 maka f(x) = 0

2.       Bentuk a^f(x) = a^P

Jika a^f(x) = a^P dan a  0 maka f(x) = p

3.       Bentuk a^f(x) = a^g(x)

Jika a^f(x) = a^g(x) dan a  0 maka f(x) = g(x)

4.       Bentuk: h(x)^f(x) = h(x)^g(x)

Jika h(x)^f(x) = h(x)^g(x) maka:

i.         h(x) = 1

ii.       h(x) = -1 asalkan nilai f(x) dan g(x) sama-sama genap atau sama-sama ganjil

iii.      h(x) = 0 asalkan f(x) > 0 dan g(x) > 0

iv.     f(x) = g(x)

5.       Bentuk ap^2x + bp^x  + c = 0

Bentuk ini merupakan persamaan eksponen yang dapat direduksi mejadi persaman kuadrat. Perhatikan bahwa ap^2x + bp^x  + c = 0 identik dengan a(p ^x)²  + bp^x + c = 0

·             Pertidaksamaan eksponen

Pertidaksamaan eksponen merupakan pertidaksamaan yang peubahnya berlaku sebagai eksponen.

Secara umum pertidaksamaan eksponen dapat kita tulis dengan:

a^f(x) > a^g(x) dengan a > 0 dan a  1

Tanda pertidaksamaan > dapat berupa tanda pertidaksamaan lain yaitu: ≥, <, ≤.

FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA

1)      FUNGSI LOGARITMA

Fungsi logaritma merupakan fungsi invers dari fungsi eksponen. Jika fungsi logaritma dinyatakan dengan y = a^x ; dengan a > 0 dan a  1, maka fungsi inversnya adalah: y = ^alogx dengan a > 0 ; a  1 dan x > 0.

Fungsi dengan a > 0 ; a  1 dan x > 0

disebut fungsi logaritma dengan bilangan pokok (basis) a.

Contoh: y = ²logx, adalah fungsi logaritma dengan bilangan pokok 2.

Karena fungsi logaritma adalah fungsi invers dari fungsi eksponen, maka nilai logaritma dapat ditentukan dengan menggunakan nilai-nilai yang diperoleh pada fungsi eksponen.

Contoh: karena 2³ = 8 maka ²log8 = 3

·             Sketsa grafik fungsi logaritma

Pada umumnya grafik fungsi logaritma mempunyai bentuk yang sama dengan kedua grafik ini. Jika bilangan pokok dari fungsi logaritmanya > 1 maka bentuk grafiknya akan seperti grafik y = ^alogx, sedangkan jika bilangan pokok dari fungsi logaritmanya diantara 0 dan 1, maka bentuk grafiknya akan seperti grafik y = ^1/2logx.

·         Sifat-sifat logaritma

1.       Jika a > 0, a  1 dan ^alog f(x) = b maka f(x) = a^b

2.       Jika a > 0, a  1, f(x) > 0 dan g(x) > 0 maka:
^alog [f(x).g(x)] = ^alog f(x) + ^alog g(x)

3.       Jika a > 0, a  1, f(x) > 0, g(x) > 0 dan g(x) 0 maka:
^alog   = ^alog f(x) - ^alog g(x)

4.       Jika a > 0, a  1 dan f(x) > 0 maka: ^alog f(x)ⁿ = n ^alog f(x)

5.       Jika a > 0, a  1, f(x) > 0, g(x) > 0 dan g(x) 1 maka:
^g(x)log f(x) = ^alog f(x)
                   ^alog g(x)

6.       Jika a > 0, a  1, dan f(x) > 0 maka: _a^alog f(x) _{= f(x).}

2)      PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAN LOGARITMA

·         Persamaan logaritma

Persamaan logaritma adalah persamaan yang peubahnya terdapat di bawah tanda logaritma atau peubahnya berlaku sebagai  bilangan pokok logaritma. Penyelesaiannya dapat ditentuka dengan menerapkan sifat-sifat yang berlaku dalam logaritma.

1.       Bentuk ^alog f(x) = b
Jika ^alog f(x) = b maka f(x) = a^b asalkan a>0 dan a  1

2.       Bentuk ^alog f(x) = ^alog P
Jika ^alog f(x) = ^alog P maka f(x) = P
asalkan a>0, a  1 dan p>0